Восточная ул., д. 154

44.599655932612, 40.131250464982 (OpenStreetMap, Google Maps, Yandex Maps)

Металлическая стела перед участком. На ней изображена видимая часть некоторого многогранника (возможно, меньше половины). Предположим, что его невидимая часть устроена точно так же, как и видимая.
Сколько всего граней у этого многогранника?

Отгадка

На стеле изображён футбольный мяч. Он состоит из пятиугольников и шестиугольников, причём каждый пятиугольник соседствует только с шестиугольниками, а каждый шестиугольник с 3 пятиугольниками и 3 шестиугольниками. Этой информации достаточно для подсчёта числа граней, если воспользоваться формулой Эйлера (число вершин минус число рёбер плюс число граней равно 2). Действительно, пусть у многогранника K пятиугольных граней и N шестиугольных. Тогда, с одной стороны, число границ между пятиугольниками и шестиугольниками равно 5K, с другой стороны, 3N. Отсюда N=(5/3)K. Далее, число граней равняется Г=K+N=(8/3)K. Число рёбер равно Р=(5K+6N)/2 (у пятиугольника 5 рёбер, у шестиугольника 6, но каждое посчитано дважды). Отсюда Р=(15/2)K. Наконец, число вершин аналогично равно В=(5K+6N)/3=5K. По формуле Эйлера имеем В-Р+Г=2, т.е. 5K-(15/2)K+(8/3)K=2. Решая уравнение, получаем K=12, откуда N=20, а Г=32.

Ответ: 32


32

Входил в трассы категорий Колмогоров

Статистика взятия: 6/17 (35%).

По категориям:

  • Колмогоров: 6/17 (35%)