ул. Зюзина, д. 13

44.604214932612, 40.096103468942 (OpenStreetMap, Google Maps, Yandex Maps)

На табличка с буквами "ГЗ" найдите десятичную дробь. Пусть n - её целая часть. На пилястрах дома найдите декор из кругов и многоугольников. Пусть m - наибольшее число углов у этих многоугольников.
https://www.youtube.com/watch?v=YTjGwXB9fJs
Чему равна максимальная площадь m-угольника, возможно, невыпуклого, у которого все углы равны 90° или 270°, а все стороны не больше n?

Отгадка

На местности видно, что n=2, m=8. Будем считать, что у многоугольника чередуются горизонтальные и вертикальные рёбра. Рассмотрим самое высокое и самое низкое горизонтальные рёбра. Заметим, что расстояние по вертикали между ними не может быть больше 4. Если их левые концы на одной вертикали, то либо их соединяет ребро, либо цепочка из 5 рёбер, и тогда правые концы должно соединять ребро. В любом случае многоугольник вписан в прямоугольник 2×4 и потому его площадь не больше 8. Теперь без ограничения общности левый конец самого низкого левее левого конца самого высокого. Тогда левые концы должны быть соединены зигзагом и 3 рёбер, как и правые. Любая точка внутри многоугольника должна быть на расстоянии по вертикали не больше 2 либо от одного ребра, либо от другого, поэтому многоугольник вложен в объединение прямоугольников высоты 2 с основаниями на выбранных рёбрах. Поскольку выбранные рёбра также длины не больше 2, его площадь не больше 8.

С другой стороны, многоугольник площади 8 легко построить, взяв 2 квадрата 2×2 и прислонив один к другому со сдвигом вдоль стороны.

Ответ: 8


8

Входил в трассы категорий Тьюринг, Колмогоров

Статистика взятия: 16/19 (84%).

По категориям:

  • Колмогоров: 9/11 (82%)
  • Тьюринг: 7/8 (88%)