А почему не должно?
Потому что нет в русском языке такого правила. Поэтому и не работает.
Какое именно? Что "давайте" перед глаголом - это не глагол, а частица? Ну хорошо, допустим есть специальное правило для слова "давайте".
Есть такое специально правило, ага. Выше скрин выложила.
А в предложении "идите обедать"? "Идите" - тоже частица?
В предложении "идите обедать" "идите" - глагол в повелительном наклонении, но это никак не связано с "давайте". Вы почему-то решили, что можете заменить "давайте" на любое слово и от этого плясать. Но это не так. По правилам русского языка "давайте" в данном случае частица. Не надо сочинять правил, которых в русском языке нет. До нас всё придумал Розенталь.
Тут хотя бы можно понять, что "начищенный" образовано от глагола "начистить", хотя тоже тяжело. Но там-то слово одно и то же...
Ага, слово одно и то же, а части речи разные. Бывает такое. Ещё бывает, когда "три" - числительное и "три" - глагол. Омоформы называются. А к "начищенному" и ещё можно синонимов придумать. "Без пятен", например. Существительное с предлогом. В русском языке много чудес, ибо он велик и могуч. Правил в нём более чем достаточно, поэтому новых изобретать не надо.